การแยกตัวประกอบ

                          การแยกตัวประกอบ

                   การแยกตัวประกอบ   คือ การเขียนจำนวนนับในรูปการคูณของตัวประกอบเฉพาะ 

เช่น   12  =  2  x 2 x 3

                2 และ 3 เป็นตัวประกอบของ 12 ที่เป็นจำนวนเฉพาะ

                2 และ 3 เป็นตัวประกอบเฉพาะของ 12

ดังนั้น   12   =  2 x 2 x 3  เป็นการเขียน 12 ในรูปการคูณของตัวประกอบ

     
            28  =   4 x  7  เป็นการแยกตัวประกอบหรือไม่                                                                             ไม่ใช่ เพราะ 4 ไม่ใช้จำนวนเฉพาะ

            30  =   2  x 3 x 5  เป็นการแยกตัวประกอบหรือไม่

                  เป็น เพราะ 2, 3, และ5 เป็นจำนวนเฉพาะ
วิธีแยกตัวประกอบวิธีแรก 
            ที่จะแนะนำคือ   การแยกตัวประกอบด้วยการกระจายผลคูณ 

นักเรียนลองพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 1

                                                  24  =  6  x 4

                                                        =  2  x 3 x 2 x 2                                                                  ดังนั้น   ตัวประกอบของ  24  =  2 x  3  x 2  x  2

ตัวอย่างที่ 2

                                                 40   =  5 x  8

                                                        =  5  x 2 x  4

                                                        =  5  x 2  x 2  x 2                                                                ดังนั้น  ตัวประกอบของ  40  =  5 x  2 x 2 x 2  

               ฉะนั้นหลักการคิดของการแยกตัวประกอบด้วยการกระจายผลคูณ คือการทำให้ผลคูณของจำนวนนับนั้นๆให้เป็นจำนวนเฉพาะทุกจำนวน

วิธีแยกตัวประกอบวิธีที่ 2     เราจะใช้วิธีตั้งหาร ตามขั้นตอนต่อไปนี้

           1. หารจำนวนนับนั้นด้วยตัวประกอบเฉพาะ

           2. พิจารณาว่าผลหารที่ได้เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ ถ้าผลหารไม่เป็นจำนวนเฉพาะก็ให้หารต่อไป ด้วยตัวประกอบเฉพาะไปจนได้ผลหารที่เป็นจำนวนเฉพาะ

           3. เขียนจำนวนนับนั้นในรูปการคูณของตัวหารทุกตัวกับผลหารสุดท้ายที่เป็นจำนวนเฉพาะมาพิจารณาตัวอย่างกัน

ตัวอย่างที่ 1  เราจะแยกตัวประกอบของ 24

            วิธีทำ                          2)24

                                               2)12

                                                 2)6

                                                     3

               ตัวประกอบของ  24  = 2 x  2 x  2 x 3

ตัวอย่างที่ 2  เราจะแยกตัวประกอบของ 42 กัน

           วิธีทำ                               2)42

                                                   3)21

                                                         7                                                                                   ตัวประกอบของ     42  =  2 x  7 x  3

ตัวอย่างที่ 3  เราจะแยกตัวประกอบของ 50

             วิธีทำ                                   5)50

                                                         5)10

                                                               2

                         ตัวประกอบของ   50 = 5 x  5 x  2

การแยกตัวประกอบโดยใช้สมบัติการแจกแจง

          ถ้า  a , b  และ  c  แทนจำนวนเต็มใด ๆ แล้ว                                                                      a(b + c)  =  ab + ac หรือ (b + c)a  =  ba + ca  เราอาจเขียนสมบัติการแจกแจงข้างต้นใหม่เป็นดังนี้

                   ab + ac  =  a(b + c)      หรือ    ba + ca  =  (b + c)a                                                       ถ้า  a , b  และ  c  เป็นพหุนาม  เราก็สามารถใช้สมบัติการแจกแจงข้างต้นได้ด้วย และ เรียก  a  ว่า   ตัวประกอบร่วมของ ab และ ac  หรือตัวประกอบร่วมของ  ba และ ca

 พิจารณาวิธีการแยกตัวประกอบของ  15x²y – 18xy²  โดยใช้สมบัติการแจกแจงดังนี้

    15x²y – 18xy²  =  3(5x²y – 6xy²)      [3 เป็น ห.ร.ม. ของ 15 และ 18]                                           =  3x(5xy – 6y²)     [x เป็นตัวประกอบร่วมของ 5x²y และ 6xy²]                                              =  3xy(5x – 6y)       [y เป็นตัวประกอบร่วมของ5xy  และ 6y²]    ดังนั้น   5x²y – 18xy²   =  3xy(5x – 6y)ตัวอย่างที่ 1    จงแยกตัวประกอบของ  5xy + 6x²                                                                        วิธีทำ                        5xy + 6x²   =   (x)(5y) + (x)(6x)                                                                                                          =   x(5y + 6x)                                                 ข้อสังเกต       x  เป็นตัวประกอบร่วมของ 5xy  และ  6x²    ดึง  x  ที่เป็นตัวประกอบร่วมออกมา

ตัวอย่างที่ 2    จงแยกตัวประกอบของ  12y²z + 20yz
            วิธีทำ                    12y²z + 20yz   = (4yz)(3y) + (4yz)(5)                                                                                                    =  4yz(3y + 5)                                                      ข้อสังเกต     4yz  เป็นตัวประกอบร่วมของ 12y²z  และ 20yz  ดึง  4yz  ที่เป็นตัวประกอบร่วมออกมา                                                                                                                                                                                                                                          ตัวอย่างที่ 3    จงแยกตัวประกอบของ  16x³y³ – 24x⁴y
         วิธีทำ                         16x³y³ – 24x⁴y   = (8x³y)(2y²) – (8x³y)(3x)
                                                                     =  8x³y(2y² – 3x)                                             ข้อสังเกต   8x³y  เป็นตัวประกอบร่วมของ 16x³y³   และ   24x⁴y  ดึง   8x³y  ที่เป็นตัวประกอบร่วมออกมา

ข้อควรระวัง

        1.  ตัวประกอบร่วมที่นำออกมานอกวงเล็บ                                                                       2.  ต้องเป็นตัวประกอบร่วมที่มากที่สุด                                                                          3.  ถ้ายังมีตัวประกอบเหลืออยู่ต้องนำออกมาให้หมด

        4.  ในการแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีหลายพจน์อาจต้องใช้สมบัติการสลับที่ และสมบัติการเปลี่ยนหมู่ประกอบด้วย  นอกจากจะใช้สมบัติการแจกแจงแล้ว  ดังตัวอย่างต่อไปนี้ 

ตัวอย่างที่ 4   จงแยกตัวประกอบของ ab -2ac + bc -2c²                                                   วิธีทำ                ab -2ac + bc -2c²     =  (ab – 2ac) + (bc – 2c²)                                                                                                =  a(b – 2c) + c(b – 2c)
                                                             =  (b – 2c)(a + c)                                                                     ดังนั้น  ab -2ac + bc -2c²  =  (b – 2c)(a + c)                                                  ข้อสังเกต      1.  a , c      เป็นตัวประกอบร่วม
                      2.  b – 2c   เป็นตัวประกอบร่วม                    ตัวอย่างที่ 5   จงแยกตัวประกอบของ 5x²z – 3y + 5yz – 3x²
  วิธีทำ              5x²z – 3y + 5yz – 3x²  =   5x²z – 3x² + 5yz – 3y                                                                                               =   (5x²z – 3x²) + (5yz – 3y)                                                                                               =   x²(5z – 3) + y(5z – 3)                                                                                                =   (5z – 3)(x² + y)                                                          ดังนั้น   5x²z – 3y + 5yz – 3x²   =  (5z – 3) (x² + y)                                              ข้อสังเกต     1.  x² , y    เป็นตัวประกอบร่วม                                                                                        2.  5z – 3   เป็นตัวประกอบร่วมตัวอย่างที่ 6   จงแยกตัวประกอบของ  mr² – 3mp + 15np – 5nr²                                                              วิธีทำ                  mr² – 3mp + 15np – 5nr²  =   mr²– 3mp – 5nr²+ 15np

                                                                     =  (mr²– 3mp) – [(5n)r²– (3)(5n)p]
                                                       =  m(r² – 3p) – 5n(r² – 3p)

                                                                     =   (r² – 3p)(m – 5n)                                                   ดังนั้น     mr² – 3mp + 15np – 5nr²    =  (r² – 3p)(m – 5n)                                         ข้อสังเกต      1.  m , 5n  เป็นตัวประกอบร่วม                                                                                       2.  r² – 3p   เป็นตัวประกอบร่วม

                                                         

                                                           สื่อ การแยกตัวประกอบ

ที่มา : http://school.obec.go.th/tnr/krits02/sec02p03.html
          https://sites.google.com/site/numnungweb/kar-yaek-tawprakxb-doy-chi-smbati-kar-caekcaeng
          http://www.youtube.com/watch?v=hEcgiy3YyTY  วันที่  1 กันยายน  2556

จำนวนเฉพาะ

                                                            จำนวนเฉพาะ

  "จำนวนเฉพาะ" หรือ ไพรม์ นัมเบอร์ (Prime number) คือ จำนวนธรรมชาติที่มีตัวหารที่เป็นบวกอยู่ 2 ตัว คือ 1 กับตัวมันเอง เช่น 2, 3, 5, 7, 11, 13 และ 17 เป็นต้น และสำหรับเลข 1 นั้น ให้ตัดทิ้ง เพราะ 1 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ 
ตัวอย่างจำนวนเฉพาะ
            จำนวนเฉพาะ 1- 100  มีทั้งหมด  25  ตัว  ดังนี้
    2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 และ 97
            จำนวนเฉพาะ 1- 200  มีทั้งหมด  46  ตัว  ดังนี้
     2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197 และ 199

            จำนวนเฉพาะ 1- 1000  มีทั้งหมด 176  ตัว  ดังนี้
  2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 221, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 403, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 481, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 533, 541, 547, 559, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 611, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673,  677, 683, 689, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 767, 769, 773, 787, 793, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 871, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 923, 929, 937, 941, 947, 949, 953, 967, 971, 977, 983, 991 และ 997

สำหรับวิธีตรวจสอบความเป็นจำนวนเฉพาะ  สามารถทำได้  ดังนี้
          สมมติเขาถามว่า 331 เป็นจำนวนเฉพาะรึเปล่า ทุกคนก็คงจะเริ่มด้วยการประมาณค่ารากที่สองของ 331 ซึ่งได้ประมาณเกือบ ๆ 18 จากนั้นก็เริ่มเอาจำนวนเฉพาะไปหาร 331 ดู โดยเริ่มจาก 2 3 5 7 ไปเรื่อย ๆ แต่พอเราลองไปจนถึง 17 แล้วยังไม่มีจำนวนเฉพาะสักตัวหาร 331 ลงตัว เราก็หยุดและสรุปว่า 331 เป็นจำนวนเฉพาะ โดยไม่ต้องลองเอาจำนวนเฉพาะอื่นๆ ไปหาร 331 อีกต่อไป  มีวิธีคิดดังนี้คือ ให้ n เป็นจำนวนนับใด ๆ (n เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ก็เป็นจำนวนประกอบเพียงอย่างใดอย่างหนึ่ง)
             - สมมติว่า n เป็นจำนวนประกอบ

             - จำนวนประกอบคือจำนวนที่มีจำนวนอื่นนอกจาก 1 และตัวมันเองที่หารมันลงตัว
             - ดังนั้นมีจำนวนนับ a โดย a หาร n ลงตัว และ 1 < a < n
             - นั่นคือจะมีจำนวนนับ b ที่ 1 < b < n และ n = a * b
             - โดยไม่เสียนัยสำคัญกำหนดให้ a <= b (ถ้า a > b ก็ให้สลับค่า a กับ b)
             - สังเกตว่า a = รากที่สองของ (a^2) <= รากที่สองของ (a*b) = รากที่สองของ n

ให้พิจารณาว่า จำนวนต่อไปนี้เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ เพราะเหตุใด 5, 9, 11, 21, 23

แนวคิด

            5 เป็นจำนวนเฉพาะเพราะมีตัวประกอบ 2 ตัว คือ 1 และ 5

            9 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะเพราะมีตัวประกอบ 3 ตัว คือ 1, 3 และ 9

            11 เป็นจำนวนเฉพาะเพราะมีตัวประกอบ 2 ตัว คือ 1 และ 11

            21 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะเพราะมีตัวประกอบ 4 ตัว คือ 1, 3, 7 และ 21

            23 เป็นจำนวนเฉพาะเพราะมีตัวประกอบ 2 ตัว คือ 1 และ 23

                                         

                                                    สื่อการสอน  การหาจำนวนเฉพาะ

ที่มา  :  http://www.youtube.com/watch?v=IndmneOQW_k
            http://education.kapook.com/view63401.html     วันที่ 30  สิงหาคม  2556
                                         

 
สูตรการหาพื้นที่และปริมาตรของเรขาคณิตรูปทรงต่างๆ

                   พื้นที่ผิวข้างของรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า   = 1/2   x ความยาวเส้นรอบรูปของฐาน x สูงเอียง                                                                   พื้นที่ผิวของพีระมิด    =   พื้นที่ฐาน + พื้นที่ผิวข้าง                                                          พื้นที่ผิวข้างของปริซึม   =   เส้นรอบรูปของฐาน x สูง                  พื้นที่ทั้งหมดของปริซึม   =   พื้นที่ผิวข้าง + 2 (พื้นที่หน้าตัด)

หน่วยของพื้นที่            พื้นที่มีหน่วยเป็นตาราง  เซ่น  ตาราง  ตารางเมตร  ตารางเซนติเมตร  นอกจากนี้พื้นที่ยังมีหน่วยเป็นอื่นๆอีก  เช่น  ไร่  งาน  เอเคอร์  การเปลี่ยนหน่วยความยาว  การเปลี่ยนหน่วยของพื้นที่

            12  นิ้ว = 1 ฟุต                                                 1  กิโลเมตร = 1,000  เมตร
            1 ไร่ = 4 งาน                                                   3  ฟุต  = 1  หลา
            1 เมตร  = 100  เซนติเมตร                               1  งาน  =  100  ตารางวา
            1,756  หลา = 1 ไมล์                                        1  ไร่  =  400  ตารางวา
            1  เซนติเมตร  = 10  มิลลิเมตร

วิธีเปลี่ยนหน่วยของพื้นที่

1  เมตร                                     =   100   เซนติเมตร
              1  ตารางเมตร                        =   100²  ตารางเซนติเมตร
1  กิโลเมตร                        =   1,000   เมตร
          1  ตารางกิโลเมตร                        =  1,000²   ตารางเซนติเมตร
1  วา                           =  2  เมตร
1 ตารางวา                              =  2²  ตารางเมตร

ที่มา :  http://www.slideshare.net/guest63819e/ss-3021712

            http://www.myfirstbrain.com/student_view.aspx?ID=44943  30 สิงหาคม 2556