การแยกตัวประกอบ

                          การแยกตัวประกอบ

                   การแยกตัวประกอบ   คือ การเขียนจำนวนนับในรูปการคูณของตัวประกอบเฉพาะ 

เช่น   12  =  2  x 2 x 3

                2 และ 3 เป็นตัวประกอบของ 12 ที่เป็นจำนวนเฉพาะ

                2 และ 3 เป็นตัวประกอบเฉพาะของ 12

ดังนั้น   12   =  2 x 2 x 3  เป็นการเขียน 12 ในรูปการคูณของตัวประกอบ

     
            28  =   4 x  7  เป็นการแยกตัวประกอบหรือไม่                                                                             ไม่ใช่ เพราะ 4 ไม่ใช้จำนวนเฉพาะ

            30  =   2  x 3 x 5  เป็นการแยกตัวประกอบหรือไม่

                  เป็น เพราะ 2, 3, และ5 เป็นจำนวนเฉพาะ
วิธีแยกตัวประกอบวิธีแรก 
            ที่จะแนะนำคือ   การแยกตัวประกอบด้วยการกระจายผลคูณ 

นักเรียนลองพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 1

                                                  24  =  6  x 4

                                                        =  2  x 3 x 2 x 2                                                                  ดังนั้น   ตัวประกอบของ  24  =  2 x  3  x 2  x  2

ตัวอย่างที่ 2

                                                 40   =  5 x  8

                                                        =  5  x 2 x  4

                                                        =  5  x 2  x 2  x 2                                                                ดังนั้น  ตัวประกอบของ  40  =  5 x  2 x 2 x 2  

               ฉะนั้นหลักการคิดของการแยกตัวประกอบด้วยการกระจายผลคูณ คือการทำให้ผลคูณของจำนวนนับนั้นๆให้เป็นจำนวนเฉพาะทุกจำนวน

วิธีแยกตัวประกอบวิธีที่ 2     เราจะใช้วิธีตั้งหาร ตามขั้นตอนต่อไปนี้

           1. หารจำนวนนับนั้นด้วยตัวประกอบเฉพาะ

           2. พิจารณาว่าผลหารที่ได้เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ ถ้าผลหารไม่เป็นจำนวนเฉพาะก็ให้หารต่อไป ด้วยตัวประกอบเฉพาะไปจนได้ผลหารที่เป็นจำนวนเฉพาะ

           3. เขียนจำนวนนับนั้นในรูปการคูณของตัวหารทุกตัวกับผลหารสุดท้ายที่เป็นจำนวนเฉพาะมาพิจารณาตัวอย่างกัน

ตัวอย่างที่ 1  เราจะแยกตัวประกอบของ 24

            วิธีทำ                          2)24

                                               2)12

                                                 2)6

                                                     3

               ตัวประกอบของ  24  = 2 x  2 x  2 x 3

ตัวอย่างที่ 2  เราจะแยกตัวประกอบของ 42 กัน

           วิธีทำ                               2)42

                                                   3)21

                                                         7                                                                                   ตัวประกอบของ     42  =  2 x  7 x  3

ตัวอย่างที่ 3  เราจะแยกตัวประกอบของ 50

             วิธีทำ                                   5)50

                                                         5)10

                                                               2

                         ตัวประกอบของ   50 = 5 x  5 x  2

การแยกตัวประกอบโดยใช้สมบัติการแจกแจง

          ถ้า  a , b  และ  c  แทนจำนวนเต็มใด ๆ แล้ว                                                                      a(b + c)  =  ab + ac หรือ (b + c)a  =  ba + ca  เราอาจเขียนสมบัติการแจกแจงข้างต้นใหม่เป็นดังนี้

                   ab + ac  =  a(b + c)      หรือ    ba + ca  =  (b + c)a                                                       ถ้า  a , b  และ  c  เป็นพหุนาม  เราก็สามารถใช้สมบัติการแจกแจงข้างต้นได้ด้วย และ เรียก  a  ว่า   ตัวประกอบร่วมของ ab และ ac  หรือตัวประกอบร่วมของ  ba และ ca

 พิจารณาวิธีการแยกตัวประกอบของ  15x²y – 18xy²  โดยใช้สมบัติการแจกแจงดังนี้

    15x²y – 18xy²  =  3(5x²y – 6xy²)      [3 เป็น ห.ร.ม. ของ 15 และ 18]                                           =  3x(5xy – 6y²)     [x เป็นตัวประกอบร่วมของ 5x²y และ 6xy²]                                              =  3xy(5x – 6y)       [y เป็นตัวประกอบร่วมของ5xy  และ 6y²]    ดังนั้น   5x²y – 18xy²   =  3xy(5x – 6y)ตัวอย่างที่ 1    จงแยกตัวประกอบของ  5xy + 6x²                                                                        วิธีทำ                        5xy + 6x²   =   (x)(5y) + (x)(6x)                                                                                                          =   x(5y + 6x)                                                 ข้อสังเกต       x  เป็นตัวประกอบร่วมของ 5xy  และ  6x²    ดึง  x  ที่เป็นตัวประกอบร่วมออกมา

ตัวอย่างที่ 2    จงแยกตัวประกอบของ  12y²z + 20yz
            วิธีทำ                    12y²z + 20yz   = (4yz)(3y) + (4yz)(5)                                                                                                    =  4yz(3y + 5)                                                      ข้อสังเกต     4yz  เป็นตัวประกอบร่วมของ 12y²z  และ 20yz  ดึง  4yz  ที่เป็นตัวประกอบร่วมออกมา                                                                                                                                                                                                                                          ตัวอย่างที่ 3    จงแยกตัวประกอบของ  16x³y³ – 24x⁴y
         วิธีทำ                         16x³y³ – 24x⁴y   = (8x³y)(2y²) – (8x³y)(3x)
                                                                     =  8x³y(2y² – 3x)                                             ข้อสังเกต   8x³y  เป็นตัวประกอบร่วมของ 16x³y³   และ   24x⁴y  ดึง   8x³y  ที่เป็นตัวประกอบร่วมออกมา

ข้อควรระวัง

        1.  ตัวประกอบร่วมที่นำออกมานอกวงเล็บ                                                                       2.  ต้องเป็นตัวประกอบร่วมที่มากที่สุด                                                                          3.  ถ้ายังมีตัวประกอบเหลืออยู่ต้องนำออกมาให้หมด

        4.  ในการแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีหลายพจน์อาจต้องใช้สมบัติการสลับที่ และสมบัติการเปลี่ยนหมู่ประกอบด้วย  นอกจากจะใช้สมบัติการแจกแจงแล้ว  ดังตัวอย่างต่อไปนี้ 

ตัวอย่างที่ 4   จงแยกตัวประกอบของ ab -2ac + bc -2c²                                                   วิธีทำ                ab -2ac + bc -2c²     =  (ab – 2ac) + (bc – 2c²)                                                                                                =  a(b – 2c) + c(b – 2c)
                                                             =  (b – 2c)(a + c)                                                                     ดังนั้น  ab -2ac + bc -2c²  =  (b – 2c)(a + c)                                                  ข้อสังเกต      1.  a , c      เป็นตัวประกอบร่วม
                      2.  b – 2c   เป็นตัวประกอบร่วม                    ตัวอย่างที่ 5   จงแยกตัวประกอบของ 5x²z – 3y + 5yz – 3x²
  วิธีทำ              5x²z – 3y + 5yz – 3x²  =   5x²z – 3x² + 5yz – 3y                                                                                               =   (5x²z – 3x²) + (5yz – 3y)                                                                                               =   x²(5z – 3) + y(5z – 3)                                                                                                =   (5z – 3)(x² + y)                                                          ดังนั้น   5x²z – 3y + 5yz – 3x²   =  (5z – 3) (x² + y)                                              ข้อสังเกต     1.  x² , y    เป็นตัวประกอบร่วม                                                                                        2.  5z – 3   เป็นตัวประกอบร่วมตัวอย่างที่ 6   จงแยกตัวประกอบของ  mr² – 3mp + 15np – 5nr²                                                              วิธีทำ                  mr² – 3mp + 15np – 5nr²  =   mr²– 3mp – 5nr²+ 15np

                                                                     =  (mr²– 3mp) – [(5n)r²– (3)(5n)p]
                                                       =  m(r² – 3p) – 5n(r² – 3p)

                                                                     =   (r² – 3p)(m – 5n)                                                   ดังนั้น     mr² – 3mp + 15np – 5nr²    =  (r² – 3p)(m – 5n)                                         ข้อสังเกต      1.  m , 5n  เป็นตัวประกอบร่วม                                                                                       2.  r² – 3p   เป็นตัวประกอบร่วม

                                                         

                                                           สื่อ การแยกตัวประกอบ

ที่มา : http://school.obec.go.th/tnr/krits02/sec02p03.html
          https://sites.google.com/site/numnungweb/kar-yaek-tawprakxb-doy-chi-smbati-kar-caekcaeng
          http://www.youtube.com/watch?v=hEcgiy3YyTY  วันที่  1 กันยายน  2556